红巾军起义是中国元末时期的一次大规模农民起义运动，其背景的形成可以追溯到以下几个方面：

1. 政治腐败与社会矛盾：元朝后期，统治阶级内部的争斗日益激烈，官僚机构的贪污腐化现象严重，社会不公与贫富差距不断扩大，导致民怨沸腾。

2. 天灾与人祸：这一时期的频繁旱涝灾害和瘟疫等疾病进一步加剧了百姓的生活困境，使得大量人口流离失所，饥荒遍地，而政府却未能有效应对这些危机。

3. 民族压迫与歧视：作为蒙古族建立的大一统王朝，元朝对汉族及其他南方少数民族实行了一系列高压政策，如科举制度的废弛、限制汉人参政以及征收重税等，这引发了广大汉人的不满情绪。

4. 白莲教的影响：白莲教是当时的一个秘密宗教组织，主张平等互助和社会变革，在民间有着广泛的支持基础。其中一支由韩山童领导的派系提出了“明王出世”的口号，预示着将有一位救世主降临人间，带领人民摆脱苦难。

5. 刘福通的活动：刘福通是一位著名的白莲教首领，他在安徽颍州（今阜阳市）发动起义，自称宋徽宗八世孙，以恢复宋室为号召，迅速吸引了大批信徒加入。

6. 朱元璋的崛起：另一位重要的红巾军领袖是朱元璋，他原是一名小和尚，后投奔郭子兴的红巾军队伍并在其中崭露头角。后来，他统一了江南地区，建立了强大的军事力量，最终推翻了元朝统治，建立了明朝。

综上所述，红巾军起义的背景是由多种因素综合作用而成的，包括政治腐败、天灾人祸、民族压迫、宗教信仰以及杰出人物的领导力等。这场起义不仅改变了中国的政治格局，也对后来的历史发展产生了深远影响。