古代印度的数学成就在世界文明史上占有重要地位，其对数字系统和数学概念的发展做出了深远的影响。以下是对古代印度在数学领域的显著成就的概述：

1. 十进制计数系统：古印度人发明了十进制的记数法，这成为了现代世界上几乎所有国家采用的基础记数系统。他们还引入了包括零在内的十个不同符号来表示数值，这是一项革命性的创新，极大地简化了计算过程。

2. 位置值原理：与十进制计数系统相辅相成的，是位置值的观念，即数字的位置决定了它的值。这一原则使得大数的运算变得可行和高效。

3. 负数和正数的概念：古印度数学家们认识到负数的存在及其意义，并将它们纳入到数学体系中。他们还探讨了这些数字在不同情况下的应用，如借贷和会计等。

4. 代数学基础：印度的数学家们在解决方程和解的问题上取得了重大进展。他们发展了一种称为“借算法”（或称“借位法”）的方法来解决线性方程组，这种方法后来被阿拉伯数学家进一步发展和传播。

5. 三角学的发展：古印度人在几何学和测量方面也颇有建树，特别是在三角学的研究和发展上。他们推导出了许多重要的三角函数关系，如sin、cos、tan等角的三角函数值表，以及相关定理和公式。这些成果为天文学和航海学的发展提供了坚实的基础。

6. 圆周率（π）的研究：印度数学家阿耶波多（Aryabhata）在他的著作《天文历算书》（Aryabhatiya）中给出了圆周率的近似值为3.1416，这是当时世界上最精确的估计之一。他的工作对于后来的数学家继续研究和改进圆周率的计算方法具有重要意义。

7. 整数分割理论：古印度数学家们还对整数进行了深入研究，特别是整数的分拆问题。他们提出了关于将一个数分解成不同质因子的加权和的规律，这一理论被称为“婆罗摩笈底理论”，以纪念提出该理论的数学家婆罗摩笈底（Brahmagupta）。

8. 比例论和度量衡：印度数学家们完善了比例论，并且制定了复杂的度量衡制度，这对当时的贸易和经济活动至关重要。

9. 实用数学的应用：古印度的数学知识不仅停留在理论层面，还被广泛应用于实践领域，例如农业灌溉系统的设计、建筑施工中的测量和计算等。

综上所述，古代印度在数学领域的贡献不可忽视。他们的智慧和创造力不仅影响了周边地区和国家，也对整个世界的科学和文化进步产生了深远影响。时至今日，我们仍然可以从古印度的数学遗产中学到很多东西。